101.- La excursionista
La respuesta es "sí, es seguro que Susana pasó por algún punto del camino exactamente a la misma hora tanto al subir como al bajar de la montaña".
Para comprender que esto ha de ser así, no tenemos más que imaginar, por ejemplo, que cuando Susana baja de la montaña, alguna otra montañera sube por el camino. Supongamos que esta segunda excursionista sale de la base al amanecer, camino de la cima, y hace las mismas paradas que Susana hizo el día anterior, y por igual tiempo. ¿Se encontrarán?, ¡por supuesto que sí! y alguna tendrá que ceder el paso. Si no se salen del camino, forzosamente se encontrarán en algún punto del mismo y el momento en que se encuentren será aquél en que Susana pase exactamente a la misma hora que el día anterior por el mismo punto. También puede razonarse la misma respuesta sin recurrir a la segunda montañera pero la solución presentada es más elegante y fácil de asimilar, aunque no a todo el mundo se le ocurre.

Recurriendo a este artificio de la segunda montañera, podemos ver facilmente que sea cual sea el recorrido de ída y sea cual sea el de vuelta, y sean cuáles sean las paradas que se hagan en cada uno, ha de haber un punto por el que se pase exactamente a la misma hora a la ida y a la vuelta, siempre que la ida y la vuelta se hagan dentro del mismo intervalo de tiempo (en este caso, desde el amanecer hasta las cinco de la tarde).

Este problema de la excursionista, es una versión del teorema del punto fijo de Brouwer, de gran utilidad en matemáticas, según el cual en toda transformación continua de un conjunto en un subconjunto de sí mismo, ha de existir un punto fijo (el enunciado ortodoxo es más complejo pero no viene al caso). Por ejemplo, si tenemos una taza de café en reposo y la removemos con una cucharilla, no importa cuántas vueltas seamos capaces de darle, al final habrá algún punto del líquido que quedará exactamente donde estaba al principio.