109.- Averiguando pesos

En primer lugar podemos inferir que dado que los pesos de todas las parejas posibles son distintos, también lo son los pesos de cada una de las niñas. En efecto, nombremos los pesos de cada una de las niñas como A, B, C, D y E. y como AC, AD, BE, ... etc., los pesos de las diferentes parejas posibles. Si dos de los pesos individuales fueran iguales, serían iguales también los pesos de las parejas de las que forman parte, es decir si, por ejemplo A=B, tendríamos que AC=BC, AD=BD, AE=BE, pero todos los pesos de las parejas son distintos, así que forzosamente también lo son los pesos individuales.

El que los pesos individuales sean todos distintos, nos permite establecer entre ellos una relación de orden, es decir, habrá un peso que será el menor, otro que será un poco mayor, ..., y así hasta el último, que será el mayor de todos. Asignemos la letra A al peso menor, B al siguiente y así, sucesivamente, hasta la letra E, que designará al peso mayor. Tenemos: A<B<C<D<E.

Ahora veamos cuáles son las parejas que se pueden formar con los cinco pesos. En la tabla de la derecha pueden verse detallados los pesos de cada una de las diez parejas: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE.

De los diez pesos podemos afirmar que: AB es el peso de la pareja que menos pesa, pues A y B son los dos pesos menores y si sustituimos cualquiera de ellos por uno de los tres restantes, el peso de la pareja resultante será mayor. Además, el siguiente peso por orden ascendente será AC, ya que AC>AB (por C>B), mientras que AC<BC (por A<B) y AC<AD (por C<D). El siguiente no podemos asegurarlo, ya que no podemos comparar BC con AD porque si bien A<B, también se da que D>C y el orden de estas parejas depende de la diferencia relativa de los pesos individuales, que no conocemos. Con un razonamiento similar, vemos que DE es el peso de la pareja que pesa más y que el siguiente en orden descendente ha de ser CE. Pero tampoco podemos afirmar cuál es el siguiente en ese orden.

Por otro lado, observamos que en el conjunto de los diez pesos de parejas, cada uno de los pesos individuales aparece cuatro veces, es decir, el peso de A, por ejemplo, está incluido en los pesos AB, AC, AD y AE, el de C, por ejemplo, en AC, BC, CD y CD, e igual sucede con B y D. Por tanto, si sumamos todos los pesos de las diez parejas, habremos sumado cuatro veces el peso de cada una de las niñas.

El mismo razonamiento lo podemos hacer de forma más aritmética: AB + AC + AD + AE + BC + BD + BE + CD + CE + DE = (A+B) + (A+C) + (A+D) + (A+E) + (B+C) + (B+D) + (B+E) + (C+D) + (C+E) + (D+E) = A+A+A+A + B+B+B+B + C+C+C+C + D+D+D+D + E+E+E+E = 4(A+B+C+D+E)

Como 129 + 125 + 124 + 123 + 122 + 121 + 120 + 118 +116 + 114 = 1212, tenemos que A+B+C+D+E= 1212/4 = 303. Es decir, la suma de los pesos de las cinco niñas ha de ser igual a 303 libras.

Ahora sí podemos calcular el peso de las niñas.

AB es el menor, luego AB=114, el siguiente es AC=116. El mayor es DE=129 y el siguiente mayor es CE=125.

303 = A + B + C + D + E => C = 303 - A - B - D - E = 303 - AB - DE = 303 - 114 - 129 = 60 => C=60

AC = A + C = 116 => A = 116 - C = 116 - 60 = 56 => A=56

AB = A + B = 114 => B = 114 - A = 114 - 56 = 58 => B=58

CE= C + E = 125 => E = 125 - C = 125 - 60 = 65 => E=65

DE = D + E = 129 => D = 129 - E = 129 - 65 = 64 = D=64