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Curiosos números de dos cifras |
| Podemos
hacer el siguiente planteamiento: Supongamos que dos números
que cumplen esta propiedad son AB y CD, entonces se tiene que cumplir
que AB x CD = BA x DC. |
| Esta
igualdad se puede expresar también de la siguiente forma:
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| (10
A + B) x (10 C + D) = (10 B + A) x (10 D + C) |
| o
bien: 100 AC + 10BC + 10AD + BD = 100 BD + 10 AD + 10 BC + BC, |
| de
donde, eliminando términos iguales y simplificando, tenemos:
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| 99
AC = 99 BD ó lo que es lo mismo: AC = BD, es decir A x C
= B x D |
|
Por
tanto, si los números de dos cifras AB y CD cumplen la
propiedad del enunciado, las cifras (es decir, los enteros menores
o iguales a 9) que componen dichos números, deben cumplir,
a su vez, que A x C = B x D. Si buscamos los pares de cifras que
cumplen esta igualdad, vemos que sólo hay nueve:
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1
x 4 = 2 x 2
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1
x 6= 2 x 3 |
1
x 8= 2 x 4 |
1
x 9 = 3 x 3 |
2
x 6 = 3 x 4 |
| 2
x 8 = 4 x 4 |
2
x 9 = 3 x 6 |
3
x 8 = 4 x 6 |
4
x 9 = 6 x 6 |
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De
cada una de estas igualdades pueden formarse uno o dos pares de
los números buscados. Por ejemplo, de la igualdad 1 x 4
= 2 x 2 se obtiene únicamente una solución 12 x
42 = 21 x 24, mientras que de la igualdad 1 x 6 = 2 x 3 se obtienen
dos pares de números que cumplen la propiedad, por un lado
12 x 63 = 21 x 36 y por otro 13 x 62 = 31 x 26.
Siguiendo
el mismo procedimiento, encontramos las 14 soluciones posibles:
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12
x 42 = 21 x 24
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12
x 63 = 21 x 36
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12
x 84 = 21 x 48
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13
x 62 = 31 x 26
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13
x 93 = 31 x 39
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14
x 82 = 41 x 28
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23
x 64 = 32 x 46
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23
x 96 = 32 x 69
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24
x 63 = 42 x 36
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24
x 84 = 42 x 48
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26
x 93 = 62 x 39
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34
x 86 = 43 x 68
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36
x 84 = 63 x 48
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46
x 96 = 64 x 69
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