51.- Compensación
En primer lugar debemos establecer cuáles son los datos que nos da el enunciado:
a) Se nos dice que el número de reales que obtuvieron por cada vaca fue igual al de vacas que vendían, lo cual nos informa de que el número de reales obtenido en la venta era un cuadrado perfecto, ya que era igual al producto del número de vacas por el precio unitario y estas cantidades eran iguales.
b) También se nos dice que al repartir el rebaño de ovejas entre los dos socios, uno recibió una oveja más que el otro, lo cual significa que el número de ovejas era impar, pues de haber sido par ambos habrían recibido la misma cantidad de ovejas.

c) También se nos dice que las ovejas costaban un precio de 10 reales cada una y que el cabritillo tenía un precio inferior a 10.
De lo dicho en "b" y "c" podemos inferir que el número de decenas del precio obtenido por la venta de las vacas era igualmente impar (pues con cada decena de reales se pagaba una oveja). Y dicho precio era un cuadrado perfecto, el cuadrado tanto del número de vacas como del precio de cada una. Podemos descomponer dicho número de vacas en decenas y unidades, con lo que, elevándolo al cuadrado tendremos:
La última de las fórmulas anteriores descompone el precio pagado por el rebaño de vacas en un número par de decenas (el encerrado en el paréntesis) y una cifra ("a" al cuadrado) que es el cuadrado de las unidades del número original de vacas y que ha de contener un número impar de decenas, condición necesaria para que el total de decenas sea también un número impar, ya que la cantidad dentro del paréntesis es par.
Es decir, "a" al cuadrado es el cuadrado del número de unidades de la cantidad original de vacas y debe contener un número impar de decenas. Dado que el número de unidades puede ir del 1 al 9 (no es posible el 0, porque entonces tendríamos decenas justas y el número total de decenas, y por tanto el de ovejas, sería par).
Si hacemos la tabla de los cuadrados de las cifras del 1 al 9 vemos que sólo los cuadrados de dos de ellas tienen un número impar de decenas. En concreto, sólo los cuadrados de 4 (16) y de 6 (36) tienen 1 y 3 decenas, respectivamente, mientras que en todos los demás cuadrados el número de decenas es par:
Por tanto, la cifra de las unidades del rebaño de vacas original tuvo que ser 4 ó 6 y el número de reales sobrantes después de pagar las ovejas a 10 reales cada una ha de ser de 6 reales, que es lo que se paga por el cabritillo.
Así, si un socio quedó con una oveja más, con un valor de 10 reales, y el otro se quedó con un cabritillo, con un valor de 6 reales, el primero había obtenido 4 reales más que el segundo en la operación y para compensarle debió entregarle 2 reales.