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Velocidad media |
| Resulta
tentador resolver el problema de forma trivial: si la ida la hace
a 80 km/h de media y la vuelta a 100, entonces el recorrido total
lo hace a 90 km/h de media. Es decir, a la media de las dos velocidades
indicadas, pero, evidentemente, no iba a ser tan fácil. |
| A
la hora de plantear el problema conviene tener en cuenta la definición
de velocidad media, esto es: Vm= espacio / tiempo. Si nos dan dos
velocidades medias, podría hacerse la media de las mismas,
siempre que los tiempos fueran iguales. |
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Por
ejemplo, supongamos que en el problema nos dijeran que un conductor
viaja con su coche a 80 km/h durante una hora y que, a continuación,
viaja durante una hora más a 100 km/h. En este caso, la
velocidad media del recorrido total sí sería de
90 km/h, pero las distancias recorridas en cada hora serían
distintas.
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En
el problema que aquí se plantea, las distancias son las
mismas pero las velocidades son distintas, por lo que, forzosamente,
los tiempos han de ser también distintos.
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Utilicemos
la fórmula de la velocidad media para resolver el problema
correctamente. Llamemos Vmi a la velocidad media de ida, Vmr a
la de retorno y Vmt a la velocidad media desarrollada en el recorrido
total, que es lo que nos piden. Sea E el espacio que separa las
ciudades A y B y sean ti y tr los tiempos de ida y de retorno,
respectivamente. Entonces:
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Vmi=
E/ti
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Vmr=
E/tr
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Vmt=
2E/(ti+tr)
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Esto
es, la velocidad media en el recorrido total (Vmt) sera igual
al espacio total recorrido (2E) dividido por el tiempo total,
que es la suma de los tiempos de ida y vuelta, pero no sabemos
el valor de esta suma, ya que no sabemos el de los sumandos. Sin
embargo, podemos calcular el valor de Vmt de una forma indirecta.
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De
las fórmulas de las velocidades medias de ida y de vuelta
deducimos que:
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| E
= Vmi * ti, y también E = Vmr * tr, por lo que:
Vmi * ti = Vmr * tr |
| De
donde deducimos: ti = tr (Vmr/Vmi) => ti = tr (100/80) =>
ti = tr 5/4. |
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Es
decir, el tiempo de ida es igual a cinco cuartos del tiempo de
regreso (lógicamente, el tiempo de ida ha de ser mayor
que el de vuelta, ya que la velocidad es menor). Con este resultado,
podemos modificar la fórmula de la velocidad media total:
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Vmt
= 2E / (tr + tr * 5/4) = 2E / tr (9/4) = 8E / 9tr
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Si
tenemos en cuenta que Vmr = E/tr, entonces:
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Vmt
= 8E / 9tr = Vmr (8/9) = 100 km/h * (8/9) = 88,88 km/h.
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| Luego,
la velocidad media total es de 88,88 km/h. Igual resultado
se hubiera obtenido si se calcula la velocidad media total
a partir de la de ida en lugar de hacerlo a partir de la de
retorno, pero eso se deja como ejercicio al lector. |
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