58.- Mosaico regular En principio, podemos intentar averiguar si existe algún otro polígono que cumpla las condiciones requeridas mediante el laborioso método de construir varios polígonos regulares con el mismo número de lados, bien físicamente bien sólo dibujados, y comprobar si podemos hacer el mosaico pedido, utilizando dichos polígonos como teselas del mismo. Así probaríamos con polígonos de 5, 7, 8, 9, ... lados. Este método, no parece el idóneo por un lado por la dificultad de dibujar los polígonos y, por otro, porque podemos tener la suerte de encontrar un tipo de polígono que cumpla la propiedad enunciada (si es que lo hay), pero puede que no tengamos esa suerte y, en tal caso, seguiremos sin poder afirmar ni negar que exista. Y si encontramos uno, tampoco sabremos si hay más. Otro enfoque más adecuado, desde una perspectiva matemática, sería determinar las características que habría de tener tal polígono y averiguar cuántos y cuáles polígonos las tienen. Desde este último punto de vista, un buen principio sería estudiar las propiedades de los polígonos regulares que ya sabemos que cumplen la condición del enunciado (triángulo equilátero, cuadrado y hexágono regular) y determinar alguna propiedad común a todos ellos y necesaria y/o suficiente para satisfacer las condiciones del problema. En este sentido, podemos partir de las siguientes observaciones: A) Puesto que no han de quedar resquicios en el mosaico, en el punto en que concurren los vértices de varias teselas, el número de teselas o polígonos que concurren en dicho punto multiplicado por el valor del ángulo interno de cada polígono (sea "µ") ha de ser igual a 360º. Por ejemplo, sea "m" el número de polígonos que concurren. En la imagen de más abajo podemos ver que en el caso del hexágono, los ángulos internos del mismo miden 120º por lo que es preciso que concurran 3 hexágonos para que cubran los 360º de la circunferencia completa y no dejen, por tanto, ningún resquicio en su unión. Analógamente, en el caso del triángulo equilátero, con ángulos internos de 60º son precisos 6 triangúlos y en el caso del cuadrado, con ángulos de 90º, se precisan 4. Por tanto, el producto del número de polígonos concurrentes por el valor en grados del ángulo interno ("µ") de cada uno ha de ser igual a 360, es decir: mµ = 360. B) Por otro lado, existe una relación entre el ángulo interno de un polígono regular y el número de lados del mismo. Sea "n" el número de lados del polígono regular y sea "µ" el valor del ángulo interno en grados, se cumple que: µ = 180 - 360/n. La demostración se puede consultar a continuación, aunque se sugiere como ejercicio para el navegante "rompecoquero" (ánimo, no es difícil). Demostración. C) Además, podemos considerar una limitación obvia tanto para "n" (número de lados del polígono) como para "m" (número de polígonos que concurren en los vértices) y es que ambos números, además de ser enteros, han de ser iguales o mayores que 3. En el caso de "n" porque un polígono ha de tener 3 lados o más (con menos, no es un polígono) y en el caso de "m" porque en un mosaico han de concurrir al menos tres polígonos (uno no tiene sentido y dos no pueden concurrir en un punto, cubriendo el plano). Uniendo los resultados expuestos en A y B, a través de su nexo común (el ángulo interno, "µ"), podemos poner en relación el número de lados del polígono "n" con el número de polígonos concurrentes "m". En efecto, sustituyendo en A el ángulo interno "µ"por su valor según B (esto es, 180 - 360 / n), se tiene que : Ahora sí estamos en condiciones de averiguar todos los polígonos regulares que cumplen las condiciones del enunciado: Así, hemos comprobado que sólo pueden existir 3 polígonos regulares que formando un mosaico puedan cubrir toda la superficie sin dejar resquicios y son los ya indicados en el enunciado: triángulo equilátero, cuadrado y hexágono regular. Además, la relación entre lados del polígono y polígonos necesarios para cubrir el plano en esos tres casos (3, 6 en triángulo; 4, 4 en el cuadrado y 6, 3 en el hexágono) refleja la simetría de la fórmula antes calculada. Por tanto, si has intentado encontrar un polígono regular distinto de los tres indicados (triángulo equilátero, cuadrado y hexágono regular) que cubra completamente la superficie al utilizarlo como mosaico, es seguro que no lo has encontrado, no lo hay. pero una cosa es decir que no existe tal polígono y otra demostrarlo. De hecho, el principal motivo de plantear aquí este problema es llamar la atención sobre una demostración matemática de no existencia, porque demostrar que algo existe es fácil si se encuentra un ejemplo, pero ¿cómo demostrar que algo no existe?. En matemáticas existen diversas demostraciones de no existencia o de existencia de sólo determinados elementos, esta es una de ellas y se atribuye a Pitágoras de Samos (siglo VI a.C.) Otra, también atribuida a Pitágoras, y relacionada con la aquí expueta, demuestra que sólo existen cinco poliedros regulares (tetraedro, hexaedro o cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro).