65.- Edades padre e hijo

Para resolver este endiablado trabalenguas quizás la mejor opción sea plasmar en unas ecuaciones los datos del enunciado. Llamemos J y P respectivamente a las edades que tienen Juan y su padre hoy. Según la primera parte del enunciado: Juan tenía una cuarta parte de la edad que su padre tiene hoy cuando el padre tenía la edad que Juan tiene hoy. Esto es, hace un cierto número de años, que llamaremos "A" el padre tenía la edad que hoy tiene Juan, plasmamos esto mediante la ecuación a). En esa misma fecha, la edad de Juan era un cuarto de la edad de su padre hoy, plasmamos esto mediante la ecuación b) y resolvemos:

Así pues, hoy la edad de Juan es 5/8 de la de su padre.

La segunda parte del enunciado nos da una relación similar a la de la primera parte, sólo que esa relación no se cumple con las edades de hoy sino con las de hace un número entero de años y la relación de edades es de un octavo en lugar de un cuarto. Es decir, hace un número entero de años Juan y su padre tenían unas edades (sean J' y P') en las cuales se daba la relación que se plasmaría con las siguientes ecuaciones:
Ahora bien, la diferencia entre esta relación y la anterior viene dada por un número entero de años. Si llamamos "E" a dicho número, y siendo J y P las edades actuales, podemos ver que:
Es decir, sabemos que E ha de ser un número entero, que P = 7E y que J = 5/8 P. Además, la edad de Juan ha de ser un número entero (la de su padre lo es, forzosamente, por ser múltiplo de E). Para ello, P ha de ser múltipo a la vez de 7 y de 8. Puesto que estos dos números son primos, el primer múltiplo común es su producto 56 que, efectivamente, puede ser una solución ya que P=56 implica E=8 y J=35, dándose las relaciones pedidas:
El siguiente múltiplo común de 7 y 8 sería el duplo de 56, es decir, 112, que también sería una solución válida supuesto que admitamos como posible la edad de 112 años para el padre de Juan (P=112, E=16, J=70). Los siguientes múltipos implicarían edades de 168 años y superiores que, lógicamente, descartamos como imposibles.