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88.- Elipses y números Sobre las elipses: Observamos que cada una de las elipses contiene ocho de los quince sectores en que se divide el espacio total interno de las cuatro elipses. Evidentemente hay sectores que pertenecen a más de una elipse, más concretamente hay 1 sector que pertenece a las cuatro elipses, 4 sectores que pertenecen simultáneamente a 3 elipses, 6 sectores que pertencen a la vez a 2 elipses y 4 sectores que pertenecen solamente a 1 elipse cada uno. Producto: Para que los productos de los ocho sectores de cada una de las cuatro elipses sean iguales, será preciso que consigamos: a) llegar al mismo producto con cuatro grupos de ocho números cada uno, tomados de entre los quince primeros números naturales (1, 2, ..., 15) y b) ubicar los números de dichos cuatro grupos en los sectores de forma que su inclusión como factor en los productos de las elipses a las que pertenezcan generen un resultado igual para las cuatro elipses. La parte b) sería de por sí compleja, pero no será preciso llegar a ella, ya que la parte a) ni tan siquiera es posible, en las condiciones del problema. En efecto, observamos que entre los números del 1 al 15 hay varios números primos que son: 1, 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Dado que la descomposición factorial de un número entero es única (*), si los productos de los 8 sectores de cada elipse son los mismos es forzoso que los números primos que formen parte de su descomposición factorial sean los mismos, pero esto es imposible ya que, si el número 13, por ejemplo, figura en los cuatro productos, colocándolo en el único sector que hace esto posible, ya no se puede hacer lo mismo con ningún otro de los números primos, en particular con el 11, que sólo podrá figurar en tres de los productos, haciendo que los cuatro productos no puedan ser iguales, ya que una descomposición en factores primos distinta implica un número producto distinto. (*) Teorema Fundamental de la Aritmética: Cualquier número entero puede descomponerse en un producto de números primos y esa descomposición es única. |
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Suma: En cambio, sí es posible distribuir los números del 1 al 15 en los quince sectores de forma que la suma de los números incluidos en cada elipse sea la misma. A la derecha puede verse una solución de este problema en el que la suma de los ocho sectores de cada elipse es igual a 58. Es seguro que hay más soluciones, sin embargo el que suscribe, hacedor habitual de los rompecocos, reconoce que no ha conseguido aún encontrar la solución general, es decir, el procedimiento que nos dé todas las soluciones posibles, así que si alguno de los navegantes amigos del Rompecocos la tiene (o la consigue averiguar) y la quiere enviar, será magníficamente recibida y se publicará en esta página. |
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