90.- Pilas de fichas Para facilitar la explicación, nombraremos a las tres pilas como A, B, C y asignaremos el número 1 a la fila superior, el 2 a la intermedia y el 3 a la inferior. Así, podremos nombrar cada una de las fichas como A1, B3, C2,..., etc. Podemos observar que como se ha de retirar primero la ficha que está en la parte superior, nunca podremos retirar, por ejemplo, A2 sin haber retirado previamente A1, ni C3 sin haber retirado antes C2 y antes C1, etc.   pila A pila B pila C fila 1 A1 B1 C1 fila 2 A2 B2 C2 fila 3 A3 B3 C3 Si pudiéramos retirar aleatoriamente cualquiera de las nueve fichas, con indepedencia de la fila en que estuvieran ubicadas, sería fácil calcular el número de formas posible de hacerlo, ya que para elegir la primera ficha tendríamos 9 opciones, para la segunda 8, para la tercera 7 y así sucesivamente, por lo que el número de combinaciones posibles sería igual a 9x8x7x6x5x4x3x2x1, es decir 9! (factorial de 9), que es igual a 362.880. En dicho número estarían incluidas todas las formas posibles de tomar, una a una, las nueve fichas, tanto las formas que son correctas para este problema, es decir las que respetan el orden "1,2,3" para cada una de las pilas, como las que no lo respetan y por tanto no son válidas según el planteamiento del problema. Por ejemplo, sería válida la combinación A1B1A2C1C2B2A3C3B3 porque en ella aparecen A1, A2, A3 en ese orden, y lo mismo pasa con la pila B y la C. Por otro lado, no sería válida, por ejemplo, esta otra combinación A1C3B2C1A2C2B3B1A3, porque no están en el orden correcto ni la pila B (sus fichas aparecen en el orden B2B3B1) ni la C (aparece como C3C1C2). Partiendo del número total de combinaciones correctas e incorrectas antes calculado, podemos determinar las que son correctas si tenemos en cuenta el número posible de formas de tomar las tres fichas de cada pila. En efecto, las fichas de la pila A, por ejemplo, sólo se pueden tomar de una forma correcta A1A2A3, pero hay varias formas incorrectas de ordenarlas tales como A2A1A3, A3A1A2, ..., etc. A la derecha se pueden ver todas las formas posibles de ordenar las tres fichas A1, A2 y A3. Vemos que hay seis formas posibles de ordenar dichas fichas, de las cuales sólo una es correcta porque mantiene el orden de la pila (1,2,3) y otras cinco son incorrectas. Es decir, sólo la sexta parte de las formas posibles son correctas. (También podíamos haber calculado el número de formas posibles razonando que para coger la primera de las tres fichas tenemos 3 opciones y sólo 2 opciones para la segunda y 1 para la tercera, por lo que las formas posibles son 3x2x1 = 3! = 6). A1A2A3 - A2A1A3 - A3A1A2 A1A3A2 - A2A3A1 - A3A2A1 Es evidente que lo mismo sucede con las pilas B y C, es decir, hay seis formas posibles de retirar las fichas de cada una de las pilas, pero sólo una de las seis es correcta a efectos del problema pues se ha de respetar el orden de superior a inferior (1,2,3): B1B2B3 - B2B1B3 - B3B1B2 B1B3B2 - B2B3B1 - B3B2B1 C1C2C3 - C2C1C3 - C3C1C2 C1C3C2 - C2C3C1 - C3C2C1   También es evidente que en la cifra antes calculada de todas las formas posibles de tomar las nueve fichas (9! = 362.880) están incluidas todas las combinaciones que se pueden hacer con las seis formas posibles de tomar las fichas de cada una de las pilas, pero sólo una de ellas es válida para cada pila. Ahora estamos ya en condiciones de responder a la pregunta del problema. El número de formas posibles de retirar las fichas correctamente, siguiendo el orden de las pilas será igual a: Por tanto, la respuesta al problema es 1.680 formas posibles de retirar las fichas respetando el orden de las pilas. Parecía que iban a ser menos ¿verdad?.