92.- ¿Unos Euromillones? Este es un ejemplo de cálculo de probabilidades cuando el número de sucesos es finito, es decir, hay un número limitado, más o menos grande, de sucesos posibles y sólo uno o unos cuantos que sean favorables. En tal caso, la probabilidad se define como el cociente de dividir el número de sucesos favorables por el total de sucesos posibles. Empezaremos por calcular el número de sucesos posibles, que no es otro que la cantidad de posibles combinaciones distintas de cinco números con dos estrellas. Como ambos sucesos son independientes, es decir, el conjunto de cinco números no está supeditado en forma alguna a cuáles sean las dos estrellas, ni tampoco éstas están supeditadas a aquellos, podemos calcular los sucesos posibles por separado. ¿De cuántas formas podemos escoger dos estrellas entre nueve?. Podemos razonar así: para elegir la primera tengo 9 opciones y para elegir la segunda 8, de modo que el total de opciones posibles es de 9x8=72. Ahora bien, en este cálculo estamos computando 2 veces cada par de estrellas, ya que contamos una vez, por ejemplo, el par 5,7 y otra vez el par 7,5. Por ello, es preciso dividir el número hallado entre 2 (las 2 distintas formas de poder ordenar cada par de números) y, ahora sí, el total de formas posibles de elegir 2 estrellas entre nueve es de 36. Veamos de cuántas formas podemos elegir nueve números entre cincuenta. Razonando de forma similar vemos que tenemos 50 opciones para elegir el primero, 49 para el segundo, 48 para el tercero, 47 para el cuarto y 46 para el quinto y último número. Por lo que el producto de estos cinco números (254.251.200) nos daría, en principio, el total de posibilidades. Ahora bien, al igual que antes, tenemos que reducir dicho número ya que nos da igual, por ejemplo, la combinación 7, 10, 25, 30, 44 que la 25, 30, 7, 44, 10, y daría igual cualquier otra combinación que tuviera los mismos números en un orden distinto ya que, a los efectos de este problema, el orden no importa. Por tanto tendremos que dividir el número antes calculado por el total de formas posibles en que se pueden ordenar cinco números. Dicha cantidad de formas es fácil de calcular, razonando como antes: dados cinco números cvualesquiera tengo 5 opciones para elegir el primero, 4 para el segundo, 3 para el tercero, 2 para el cuarto y 1 para el quinto y último, por lo que el número de ordenaciones posibles de 5 números es de 5x4x3x2x1=5! (factorial de 5) = 120. Por tanto dividimos 254.251.200 entre 120 y tendremos 2.118.760 formas posibles de elegir 5 números entre 50, sin que importe el orden. Y como hay 36 formas de elegir 2 estrellas entre 9, tenemos que el número total de combinaciones posibles en el juego de Euromillones es 2.118.760 x 36 = 76.275.360. Ahora ya podemos calcular nuestras posibilidades de acertar. Acertar el premio mayor (los 5 números más las 2 estrellas) supone acertar 1 única combinación entre 76.275.360. Dividiendo 1 por esta cifra obtenemos la probabilidad de 0,00000001311. Acertar exactamente 3 números lo podríamos hacer eligiendo 3 cualesquiera de los cinco números de la combinación ganadora y otros 2 entre los 45 restantes, lo cual teniendo en cuenta que no importa el orden nos daría (5x4x3/3!)x(45x44/2!)=9900 posibilidades, y tenemos 14 posibilidades de acertar una sola de las dos estrellas (2 posibilidades de acertar una estrella premiada por 7 de elegir una segunda estrella no premiada), así que hay 14x9900=138.600 posibilidades de acertar 3 números y una estrella. La probabilidad sería el resultado de dividir 138.600 por el total de posibilidades, lo que nos da 0,0018171 (¡ya vamos mejorando!). No acertar ningún número ni ninguna estrella equivaldría a elegir 5 números entre 45 (los no premiados) y 2 estrellas entre 7 (idem) lo que nos daría ((45x44x43x42x41)/5!)x(7x6/2)= 1.221.759x21 = 25.656.939 y la probabilidad sería de 0,33637. Como vemos, es bastante más fácil no acertar nada que acertar 3 números y una estrella y no digamos de acertar el premio mayor. Pero aquellos que juguéis no tenéis que desanimaros. Dado que son muchos millones los boletos que se presentan y, por tanto, las combinaciones que se juegan, la mayor parte de las veces le toca a alguien el premio gordo y el boleto que yo entrego tiene tantas posibilidades como el de cualquier otro, aunque sean pocas. Los demás premios casi siempre le tocan a alguien.